Burke dołączył do akademii West Hamu w wieku dziewięciu lat i grał we wszystkich kategoriach wiekowych. Debiut w pierwszej drużynie zaliczył 5 stycznia 2014 przeciwko Nottingham Forest (0:5) w rozgrywkach FA Cup. Podczas okresu przygotowawczego do sezonu 2014/15 strzelił gola dla Młotów w sparingu z Sampdorią Genua na Upton Park. Następnie 26 sierpnia 2014 roku zagrał 120 minut w przegranym spotkaniu z Sheffield United w Capital One Cup (1:1 karne 4-5). 1 października podpisał swój pierwszy profesjonalny kontrakt, wiążący go z klubem do 2017 roku. W związku z kontuzjami podstawowych stoperów, pod koniec kampanii 2014/15, Burke niespodziewanie wskoczył do pierwszego składu Młotów. Piłkarz zadebiutował w Premier League 25 kwietnia 2015 roku, w spotkaniu wyjazdowym z QPR. Do końca sezonie rozegrał pięć spotkań.
Kariera reprezentacyjna:
Młody obrońca w sezonie 2013/14 zaliczył cztery występy w reprezentacji Anglii do lat 18. Ponadto piłkarz jest regularnie powoływany do drużyny narodowej U19.